定积分中值定理(第二中值定理如何证明)-传统节日网

定积分中值定理是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

首先，积分中值定理有三个形式（起码在数学分析里是三种），第一中值及其推广形式，以及第二中值定理。

其中第一中值定理的描述是说中值点在闭区间取，同时注明开区间内也一定存在中值点。证明过程看你用什么工具，证明闭区间结论的一定是牵扯到函数的连续性，开区间的一定是出现在微分中值定理，因此我们需要选择正确的思路。

现在证明的是开区间中值点的存在性，我们自然选择微分中值定理，即构造符合条件的辅助函数。

以积分第一中值定理为例：在连续，则存在一点，s.t.证明：构造函数,则F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导；根据拉格朗日中值定理：存在一点，s.t.得证；

这个证明很容易想到，稍微难想到的是推广后的第一中值定理：在连续，在可积且不变号，则存在一点，s.t.这个辅助函数怎么构造我还在想….忙里偷闲刷知乎…接着写代码去了

如何利用中值定理证明f(1)=cf(c)的，且∮（c）=∮（1）的推论是简单的代入还是怎么样。数学不好，描述的模糊请见谅。
我来救你了！！用积分第一中值定理：f∈C[a,b],g∈R[a,b],且g在[a,b]上不变号（要么恒≥0，要么恒≤0），则存在c∈[a,b],s.t. S[a,b]fgdx=f(c)*(S[a,b]gdx)还会用到数列的夹挤定理，即存在N,任意nN,z(n)=x(n)=y(n)且z(n),y(n)的极限相同值为l则x（n）的极限存在，为l。现在我们看题：对每一个n，x^n满足条件作为f，1(1+x)满足条件作为g；对每一个n，用积分第一中值定理，从存在的c中取一个记为c(n)(这是选择公理保障的），那么有原数列=(c(n))^n*S[0,12]1(1+x)dx=(c(n))^n*ln(32);而0=c(n)=12;得到0=(c(n))^n=(12)^n;这两边极限为0，由夹挤定理得中间那个极限为0；至此证明完毕。

这个是数学分析第四版上册232页的一个推论
错误其实很简单，就是你在第二行变量替换的时候，你得保证G(x)是单值函数。所以你直接写那么个区间是有问题的。或者说你默认了G（x）是单值函数比如∫(-1→1)x^2 *f（x）dx，在这里g(x)=x^2 你要是直接把x^2弄成t 那积分区间就变成 (1→1) 自然就出错了。所以如果你假定G(x)是个单值函数不考虑间断点情况下，因为它单调那么反函数自然存在，你可以接着往下讨论

第一道我算的是0 第二道我算的是e/e-1f(1) 不知道对不对想问一下正确答案
写个一般形式，常用第一积分中值定理：如果函数f（x）在闭区间[a , b]上连续，函数g（x）可积且不变号，则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ ，使 ∫(a, b)f ( x )*g(x)dx = f (ξ )*∫(a, b) g(x)dx.(a ξ b)

这个是数学分析第四版上册232页的一个推论
错误其实很简单，就是你在第二行变量替换的时候，你得保证G(x)是单值函数。所以你直接写那么个区间是有问题的。或者说你默认了G（x）是单值函数比如∫(-1→1)x^2 *f（x）dx，在这里g(x)=x^2 你要是直接把x^2弄成t 那积分区间就变成 (1→1) 自然就出错了。所以如果你假定G(x)是个单值函数不考虑间断点情况下，因为它单调那么反函数自然存在，你可以接着往下讨论

定积分中值定理(第二中值定理如何证明)